Recta Orientada  - Eixo

    Uma recta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.

 

Segmento orientado

    Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade.

 

Segmento Nulo

    Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.

 

Segmentos Opostos

    Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.

 

Medida de um Segmento

    Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um  número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por .

    Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento:

            = 5 u.c.

    Observações

  1. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero

  2. = .

 

Direcção e Sentido

    Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direcção se as rectas suportes desses segmentos são paralelas:

    ou coincidentes

    Observações

  1. Só se pode comprar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direcção.

  2. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

 

Segmentos Equipolentes

    Dois segmentos orientados AB e CD são  equipolentes quando têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

    Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma recta. Na segunda figura abaixo, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.

    Observações

  1. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.

  2. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.

 

Propriedades da Equipolência

  1. AB ~ AB (reflexiva).

  2. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica).

  3. Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva).

  4. Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.

 

   Vector

   O vector determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

    Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

= {XY/XY ~ AB}

    onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

   O vector determinado por AB é indicado por ou B - A ou .

   um mesmo vector é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vector, e todos equipolentes entre si. Assim,  um segmento determina um conjunto que é o vector, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vector. Usando um pouco mais a nossa capacidade de abstracção, se os considerarmos todos como infinitos e orientados de origem comum, estamos a caracterizar, através de representantes, a totalidade dos vectores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vector. Consequentemente, todos os vectores estão representados naquele conjunto que imaginamos.

   As características de um vector   são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direcção e o sentido do vector são o módulo, direcção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

   O módulo de   se indica por || .

   Vectores iguais

   Dois vectores e são iguais se, e somente se, AB ~ CD.

   Vector Nulo

   Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vector, chamado vector nulo ou vector zero, e que é indicado por .

   Vectores Opostos

   Dado um vector = , o vector é o oposto de e se indica por  ou por  .

 

Vector Unitário

   Um vector é unitário se || = 1.

 

Versor

   Versor de um vector não nulo é o vector unitário de mesma direcção e mesmo sentido de .

   Por exemplo, tomemos um vector de módulo 3.

   Os vectores e da figura são vectores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas tem a mesma direcção e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .

 

Vectores Colineares

   Dois vectores e são colineares se tiverem a mesma direcção. Em outras palavras: e são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma recta ou a rectas paralelas.

 

 

Vectores Coplanares

    Se os vectores não nulos , e (não importa o número de vectores) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano p, diz-se que eles são coplanares.

    Dois vectores e    quaisquer são  sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e pertencendo a um plano p que passa por este ponto.

   Três vectores poderão ou não ser coplanares.

 

, e são coplanares

 

, e não são coplanares

 

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

 

Propriedades da soma de vectores
   

I) Comutativa: Para todos os vectores u e v de R2:

   v + w = w + v

 II) Associativa: Para todos os vectores u, v e w de R2:

   u + (v + w) = (u + v) + w

 III) Elemento neutro: Existe um vector O=(0,0) em R2 tal que para todo vector u de R2, se tem:

   O + u = u

 IV) Elemento oposto: Para cada vector v de R2, existe um vector -v em R2 tal que:

   v + (-v) = O

 

Diferença de vectores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)

 

Produto de um escalar por um vector

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:

c.v = (ca,cb)

 

Propriedades do produto de escalar por vector

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vectores:
   

  • 1 v = v
  • (k c) v = k (c v) = c (k v)
  • k v = c v    implica   k = c, se v for não nulo
  • k (v+w) = k v + k w
  • (k + c)v = k v + c v

 

Módulo de um vector

O módulo ou comprimento do vector v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

 

Vector unitário

Vector unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vectores unitários que formam a base canónica para o espaço R2, que são dados por:

i = (1,0)    j = (0,1)

Para construir um vector unitário u que tenha a mesma direcção e sentido que um outro vector v, basta dividir o vector v pelo seu módulo, isto é:

Observação:

Para construir um vector u paralelo a um vector v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos.

Se c = 0 então u será o vector nulo.
Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.

 

Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vectores u e v, como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos: 

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

   

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vectores, u v e w e k escalar:
   

v.w = w.v
v.v = |v| |v| = |v|2
u.(v+w) = u.v + u.w
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
|kv| = |k| |v|
|u.v| <= |u| |v|    (desigualdade de Schwarz)
|u+v| <= |u| + |v|   (desigualdade triangular)

Obs: <= significa menor ou igual

Ângulo entre dois vectores

O produto escalar entre os vectores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vectores genéricos u e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

   

Vectores ortogonais

Dois vectores u e v são ortogonais se:

u.v = 0