Geometria Analítica - Cónicas
Elipse
Considerando, num plano ,
dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a
um número real maior que a distância entre F1 e F2,
chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano
tais que a soma das
distâncias desses pontos a F1 e F2
seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:
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A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajectória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajectória.
A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cónicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular recto por um plano oblíquo em relação à sua base.
Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
focos : os pontos F1 e F2
centro: o ponto O,
que é o ponto médio de
semi-eixo maior: a
semi-eixo menor: b
semidistância focal: c
vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
eixo maior:
eixo menor:
distância focal:
Relação fundamental
Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , rectângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
a2 =b2 + c2 |
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
|
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1.
Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
Aplicando a definição de elipse
,
obtemos a equação da elipse:
|
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
Nessas condições, a equação da elipse é:
|
|
Hipérbole
Considerando, num plano ,
dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a
um número real menor que a distância entre F1 e F2
, chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano
tais que o módulo da
diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2
seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
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|
A figura obtida é uma hipérbole.
Observação: Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares rectos e opostos pelo vértice: |
|
Elementos
Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
focos: os pontos F1 e F2
vértices: os pontos A1 e A2
centro da hipérbole: o ponto O,
que é o ponto médio de
semi-eixo real: a
semi-eixo imaginário: b
semidistância focal: c
distância focal:
eixo real:
eixo imaginário:
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Como c > a, temos e > 1.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
|
F1 (-c, 0) F2 ( c, 0) |
Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Nessas condições, a equação da hipérbole é:
|
|
Hipérbole equilátera
Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:
|
a = b |
Assímptotas da hipérbole
Assímptotas são rectas que contêm as diagonais do rectângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal,
o coeficiente angular dessas rectas é
; quando
é vertical, o coeficiente é
.
Equação
Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C(0, 0)
As assímptotas passam pela origem e têm coeficiente angular
; logo, suas equações
são da forma:
b) eixo vertical e C(0, 0)
As assímptotas passam pela origem
e têm coeficiente angular
; logo, suas equações
são da forma:
Parábola
Dados uma reta d e um ponto F
, de um plano
, chamamos de
parábola o conjunto de pontos do plano
equidistantes de F
e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P,
Q e R pontos de um plano
e d uma recta
desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
|
|
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular recto:
2ª) Os telescópios reflectores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajectórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido
contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é
parabólica.
Elementos
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
foco: o ponto F
diretriz: a reta d
vértice: o ponto V
parâmetro: p
Então, temos que:
o vértice V e o foco F ficam numa mesma recta, o eixo de simetria e.
Assim, sempre temos
.
DF =p
V é o ponto médio de
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a recta d tem equação
e na parábola temos:
;
P(x, y);
dPF = dPd ( definição);
obtemos, então, a equação da parábola:
y2 = 2px |
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
Nessas condições, a equação da parábola é:
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c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical
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d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
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