Geometria Analítica - Cónicas

Elipse

   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

   A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajectória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajectória.

     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cónicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular recto por um plano oblíquo em relação à sua base.

 

Elementos

    Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

Relação fundamental

    Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , rectângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

    Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

    Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1.

Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

 

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

   Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

   Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

   Nessas condições, a equação da elipse é:

 

Hipérbole

   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

 

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação:

Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares rectos e opostos pelo vértice:

 

Elementos

   Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

 

Excentricidade

        Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

    Como c > a, temos e > 1.

 

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)

F2 ( c, 0)

    Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

    Nessas condições, a equação da hipérbole é:

 

Hipérbole equilátera

    Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a = b

Assímptotas da hipérbole

    Assímptotas são rectas que contêm as diagonais do rectângulo de lados 2a e 2b.

    Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas rectas é ; quando é vertical, o coeficiente é .

Equação

    Vamos considerar os seguintes casos:

a) eixo real horizontal e C(0, 0)

    As assímptotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

b) eixo vertical e C(0, 0)

    As assímptotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

Parábola

    Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano equidistantes de F e d.

   Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma recta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:

1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular recto:

2ª) Os telescópios reflectores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.

3ª) As trajectórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.

4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
 

Elementos

   Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

                Então, temos que:

                Assim, sempre temos .

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

    Como a recta d tem equação   e na parábola temos:

        obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:

y2 = -2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

   x2=2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

 x2= - 2py