Geometria Espacial

Geometria Espacial

Conceitos primitivos

São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, recta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto

rectas: letras minúsculas do nosso alfabeto

planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

Axiomas

Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, rectas e planos.

Postulados sobre pontos e rectas

P₁)A recta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

P₂)Por um ponto podem ser traçadas infinitas rectas.

P₃) Por dois pontos distintos passa uma única recta.

P₄) Um ponto qualquer de uma recta divide-a em duas semi-rectas.

Postulados sobre o plano e o espaço

P₅) Por três pontos não colineares passa um único plano.

P₆) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

P₇) Por uma recta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P₈) Toda recta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.

P₉) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.

Posições relativas de duas rectas

No espaço, duas rectas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

Temos que considerar dois casos particulares:

rectas perpendiculares:

rectas ortogonais:

Postulado de Euclides ou das rectas paralelas

P₁₀) Dados uma recta r e um ponto P r, existe uma única recta s, traçada por P, tal que r // s:

Determinação de um plano

Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não colineares, um plano também pode ser determinado por:

uma recta e um ponto não pertencente a essa recta:

duas rectas distintas concorrentes:

duas rectas paralelas distintas:

Posições relativas de recta e plano

Vamos considerar as seguintes situações:

a) recta contida no plano

Se uma recta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:

b) recta concorrente ou incidente ao plano

Dizemos que a recta r "fura" o plano ou que r e são concorrentes em P quando .

Observação: A recta r é reversa a todas as rectas do plano que não passam pelo ponto P.

c) recta paralela ao plano

Se uma recta r e um plano não têm ponto em comum, então a recta r é paralela a uma recta t contida no plano ; portanto, r //

Em existem infinitas rectas paralelas, reversas ou ortogonais a r.

P₁₁) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.

Perpendicularidade entre uma recta e um plano

Uma recta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as rectas de que passam pelo ponto de intersecção de r e .

Note que:

se uma recta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda recta de :

para que uma recta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas rectas concorrentes, contidas em :

Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única recta t de para que seja perpendicular ao plano:

Posições relativas de dois planos

Consideramos as seguintes situações:

a) planos coincidentes ou iguais

b) planos concorrentes ou secantes

Dois planos, , são concorrentes quando sua intersecção é uma única recta:

c) planos paralelo

Dois planos, , são paralelos quando sua intersecção é vazia:

Perpendicularidade entre planos

Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma recta de um deles que é perpendicular ao outro:

Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.

Projecção ortogonal

A projecção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a recta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projecções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Distâncias

A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projecção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma recta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da recta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
A distância entre duas rectas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira recta:

Ângulos

O ângulo entre duas rectas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma recta paralela à outra:
O ângulo entre uma recta e um plano é o ângulo que a recta forma com sua projecção ortogonal sobre o plano:

Observações:

Diedros, triedos, poliedros

Diedros

Dois semiplanos não coplanares, com origem numa mesma recta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:

Triedos

Três semi-retas não coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

Ângulo poliédrico

Sejam n semi-rectas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-rectas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-rectas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Poliedros

Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.

Poliedros convexos e côncavos

Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.

Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

Classificação

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Existem cinco poliedros regulares:

Poliedro

Planificação

Elementos

Tetraedro

4 faces triangulares

4 vértices

6 arestas

Hexaedro

6 faces quadrangulares

8 vértices

12 arestas

Octaedro

8 faces triangulares

6 vértices

12 arestas

Icosaedro

20 faces triangulares

12 vértices

30 arestas

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.

Observe os exemplos:

V=8 A=12 F=6

8 - 12 + 6 = 2

V = 12 A = 18 F = 8

12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não platônico.

Prismas

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma recta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à recta r :

Assim, temos:

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r.

Elementos do prisma

Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: as regiões poligonais R e S
altura: a distância h entre os planos
arestas das bases: os lados ( dos polígonos)
arestas laterais: os segmentos
faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação

Um prisma pode ser:

recto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

prisma recto

prisma oblíquo

Chamamos de prisma regular todo prisma recto cujas bases são polígonos regulares:

prisma regular triangular

prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são rectângulos congruentes.

Secção

Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (A_F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( A_L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos:

A_L= n . A_F (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (A_B): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( A_T): soma da área lateral com a área das bases

A_T = A_L + 2A_B

Vejamos um exemplo.

Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

Paralelepípedo

Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo recto

Se o paralelepípedo recto tem bases rectangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-rectângulo, ortoedro ou paralelepípedo rectângulo.

Paralelepípedo rectângulo

Seja o paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

Considere a figura a seguir:

d_b = diagonal da base

d_p = diagonal do paralelepípedo

Na base ABFE, temos:

No triângulo AFD, temos:

Área lateral

Sendo A_La área lateral de um paralelepípedo rectângulo, temos:

A_L= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =A_L = 2(ac + bc)

Área total

Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

A_T= 2( ab + ac + bc)

Volume

Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

Então, o volume de um paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo rectângulo é o produto da área da base A_B pela medida da altura h:

Cubo

Um paralelepípedo rectângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

Diagonais da base e do cubo

Considere a figura a seguir:

d_c=diagonal do cubo

d_b = diagonal da base

Na base ABCD, temos:

No triângulo ACE, temos:

Área lateral

A área lateral A_L é dada pela área dos quadrados de lado a:

A_L=4a²

Área total

A área total A_T é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

A_T=6a²

Volume

De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

V= a . a . a = a³

Generalização do volume de um prisma

Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano, paralelo a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo rectângulo, então V₂ = A_Bh.

Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:

V_prisma = A_Bh

Cilindro

Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em e uma recta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à recta r :

Assim, temos:

Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.

Elementos do cilindro

Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

bases: os círculos de centro O e O'e raios r
altura: a distância h entre os planos
geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à recta r

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Classificação do Cilindro

Um cilindro pode ser:

circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
circular recto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

Veja:

O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um rectângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do rectângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:

A recta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Secção

Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

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Áreas

Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro recto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um rectângulo de dimensões :

b) área da base ( A_B):área do círculo de raio r

c) área total ( A_T): soma da área lateral com as áreas das bases

Volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo rectângulo, então V₂ = A_Bh.

Assim, o volume de todo paralelepípedo rectângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:

V_cilindro = A_Bh

No caso do cilindro circular recto, a área da base é a área do círculo de raio r ;

portanto seu volume é:

Cilindro equilátero

Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro equilátero.

Cone circular

Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .

Elementos do cone circular

Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
raio da base: raio R do círculo
eixo de rotação: recta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

Cone recto

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone recto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo rectângulo em torno de um de seus catetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

g₂ = h₂ + R₂

Secção meridiana

A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:

Áreas

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular recto, obtemos um sector circular de raio g e comprimento :

Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L): área do sector circular

b) área da base (A_B):área do circulo do raio R

c) área total (A_T):soma da área lateral com a área da base

Volume

Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:

d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e

S=área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo rectângulo em torno do cateto h:

O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo:

Pirâmides

Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

Elementos da pirâmide

Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

base: o polígono convexo R
arestas da base: os lados do polígono
arestas laterais: os segmentos
faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

Uma pirâmide é recta quando a projecção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

Toda pirâmide recta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

Veja:

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos equiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos equiláteros, o octaedro é regular.

Secção paralela à base de uma pirâmide

Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

Assim, temos:

A base da pirâmide é um polígono regular inscrito num círculo de raio OB = R.

A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

Os triângulos VOB e VOM são rectângulos.

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

A_T = A_L +A_B

Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Áreas

Temos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

b) área total (A_T): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (A_b) e maior (A_B)

A_T =A_L+A_B+A_b

_Volume

O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

Tronco do cone

Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:

as bases maior e menor são paralelas;
a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.

Áreas

Temos:

a) área lateral

b) área total

Volume

Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:

Esfera

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.