Objetivos / Competências
Relacionar propriedades dos campos escalares e campos vetoriais com os aspetos de vários tipo de representação gráfica. Compreender os vários conceitos e resultados da análise vectorial, bem como o seu significado físico, e usá-los corretamente. Fazer cálculos envolvendo gradiente, rotacional, divergência e integrais.
Discutir a existência e unicidade de solução de um problema ordinário de valor inicial, aplicar os métodos numéricos na resolução de problemas concretos, implementar os métodos em Matlab.
Resolver problemas bem-postos de equações de derivadas parciais envolvendo sobretudo, mas não só, a equação do calor para uma vareta finita, a equação da onda para uma corda finita, e a equação de Laplace num domínio rectangular.
Utilizar software matemático com sentido crítico.
Conteúdos programáticos resumidos
Análise Vetorial: Representações gráficas de funções de várias variáveis, curvas de nível. Derivadas direccionais e gradiente. Campos vectoriais conservativos, rotacional e divergente. Teoremas fundamentais. Aplicações a problemas físicos.
Programação em MatIab.
Resoluções numéricas de problemas diferenciais ordinários: Existência e unicidade de solução para problemas de valor inicial. Métodos de Taylor e de Runge-Kutta. Estudo do erro. Generalização dos métodos anteriores a sistemas de equações diferenciais e a equações de ordens superiores. Implementação em Matlab dos métodos numéricos estudados. Aplicações a problemas físicos.
Equações de derivadas parciais: Problema de equação de derivadas parciais bem posto. Resolução de uma EDP pelo método das variáveis separáveis. Aplicação das séries de Fourier à resolução de um problema bem posto. Transformação de um problema não-homogéneo num não homogéneo. Equações do calor (ou da difusão), da onda e de Laplace e aplicações.
Metodologias de ensino e critérios de avaliação
Aulas teóricas: Método expositivo com utilização de quadro e giz e projector, intercalado com situações de diálogo com os alunos.
Aulas teórico-práticas: Aulas de resolução de problemas envolvendo trabalho individual ou de grupo, discussão das dúvidas, ideias e resoluções possíveis, e finalizando com a elaboração de uma (ou mais) resposta. 35% destas aulas têm lugar em laboratório informático, recorrendo a software matemático.
Orientação tutória: Discussão das dificuldades surgidas relativamente aos trabalhos propostos para trabalho extra-aula e sugestões para posterior completamento em trabalho extra-aulas.
Uso da Internet (via moodle) para informar sobre programa, bibliografia, avaliação e outros, e para disponibilizar material de apoio.
Avaliação: 4 frequências sendo uma delas em laboratório informático, ou exame.
Bibliografia resumida
Principal:
- M. P. Coleman, An Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB, Chapman & Hall/CRC, 2005.
- A. Gilat e V. Subramaniam, Métodos Numéricos para engenheiros e cientistas, bookman, 2008.
- A. Gilat, MATLAB An introduction with applications, Wiley, 2008.
- J. Stewart, Cálculo II, Pioneira, Thomson Learning, 2001.
Outra:
- M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer, 1993.
- R. L. Burden, J. D. Faires, Numerical Analysis, Brooks-Cole, 2010.
- E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Jhon Wiley & Sons, 1999.
- Larson, Hostetler, Edwards, Cálculo, Vol.2, Mc-Graw-Hill, 2006.
- Wei-Chau Xie, Differential Equations for Engineers, Cambridge University Press, 2010.
