Inequações Trigonométricas

 INTRODUÇÃO

        Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma inequação, dizemos que esta inequação é trigonométrica.

Exemplos:

1) sen x > e sen² x + tg 2 são inequações trigonométricas.

2) ( sen 30º) . (x² - 1) > 0 não são inequações trigonométricas.

               Resolver uma inequação como f(x) < g(x), por exemplo, significa determinar o conjunto S dos números s, sendo s elemento do domínio de f e de g, tais que f(s) < g(s).

               O conjunto S é chamado de conjunto solução da inequação e todo elemento de S é uma solução da inequação.

                Assim, na inequação sen x > , os números são algumas de suas soluções e os números não o são.

 RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS

             Quase todas as inequações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequações fundamentais. Vamos conhecê-las, a seguir, através de exemplos.

1º caso : sen x < sen a (sen x sen a)

 Por exemplo, ao resolvermos a inequação

encontramos, inicialmente,

, que é uma solução particular no intervalo . Acrescentando às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em IR, que é:

O conjunto solução é, portanto:

Por outro lado, se a inequação fosse , então, bastaria incluir as extremidades de

e o conjunto solução seria:

2º caso: sen x > sen a (sen x sen a)

Por exemplo, ao resolvermos a inequação sen x > sen ou sen x > encontramos, inicialmente,

, que é uma uma solução

particular no intervalo .

Acrescentando às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em IR, que é:

          O conjunto solução é , portanto:

3º caso: cos x < cos a (cos x cos a)

 Por exemplo, ao resolvermos a inequação

encontramos, inicialmente,

, que é uma solução particular no intervalo

.

Acrescentando às extremidades do intervalo encontrado, temos a solução geral em IR,

que é:

O conjunto solução é, portanto:

Por outro lado, se a inequação fosse cos x cos ou cos x , então, bastaria incluir as extremidades de e o conjunto solução seria:

4º caso: cos x > cos a ( cos x cos a)

Por exemplo, ao resolvermos a inequação encontramos, inicialmente, , que é uma solução particular no intervalo . Acrescentando ) às extremidades

dos intervalos encontrados, temos o conjunto solução seguinte:

5º caso: tg x < tg a   (tg x tg a)

Por exemplo, ao resolvermos  a inequação encontramos, inicialmente, , que é uma solução particular no intervalo .

A solução geral em IR pode ser expressa por .

 O conjunto solução é, portanto:

6º caso: tg x > tg a ( tg x tg a)
 Vamos estudar este último caso resolvendo a inequação tg x > tg como exemplo.

Então, na resolução da inequação encontramos, inicialmente,, que é uma solução particular no intervalo .

 A solução geral em IR pode ser expressa por

.

 O conjunto solução é, portanto: