Modelização / CAD
efeito das correntes induzidas, efeito pelicular e histerese
em máquinas eléctricas, transformadores e linhas de transporte de energia

A Escolha de um modelo

Quando se quer resolver um problema de concepção assistida por computador deve-se antes de tudo determinar o modelo mais adaptado ao estudo que se quer realizar. A variedade de modelos é grande mas teremos que levar em linha de conta as utensilios existentes. Deve haver um extremo cuidado na verificação das hipóteses do modelo escolhido.

Esta escolha não é, de forma alguma, fácil e os sistemas "experts" poderão, talvez no futuro trazer uma ajuda preciosa neste domínio. Uma vez escolhido o modelo, o utilizador necessita apenas de usar os sistemas de concepção assistida por computador existentes, já que não tem necessidade de conhecer em detalhe os métodos utilizados para tratamento de equações.

Contudo, um engenheiro que estude a fiabilidade de um novo sistema de concepção assistida por computador ou que queira avaliar as perfomances respectivas de diversos computadores, deve dominar o princípio destes métodos, sem os quais a maior parte das equações se tornariam insolúveis. Seguidamente, faremos uma breve referência às técnicas numéricas de resolução de equações com derivadas parciais.

Os métodos analíticos, transformação conforme, método das imagens, separação de variáveis, tornam-se de aplicação deveras difícil quando a complexidade da geometria aumenta e os materiais possuem características não lineares. Os únicos métodos disponíveis são então os métodos numéricos, que transformam as equações com derivadas parciais de campo em sistemas de equações algébricas cuja solução fornece uma aproximação de campo numa gama discreta de pontos do plano ou do espaço. Os métodos das diferenças finitas utilizam um discriccionismo das equações com derivadas parciais de campo enquanto que os elementos finitos se processam em primeiro lugar por uma formulação variacional ou projectiva do problema físico associado e os métodos integrais utilizam os teoremas de Green para restabelecer o problema nos limites. Os métodos das diferenças finitas permitem obter resultados satisfatórios em numerosos problemas, mas necessitam de um conhecimento e experiência importantes. Os métodos integrais são de emprego muito recente neste tipo de problemas e a sua aplicação torna-se muito delicada e do domínio de especialistas.

Não é do âmbito deste trabalho entrar em considerações pormenorizadas sobre esses temas, contudo salientamos que há excelentes obras sobre esta matéria que poderão e deverão ser consultadas.

É sempre perigoso querer propor um guia metodológico que aspire à generalidade, mas, mesmo assim, arriscamos algumas considerações.

Há determinadas etapas necessárias para transformar uma equação fornecida pela física num conjunto de sistemas algébricos lineares tratáveis por um computador:

1) projecção do resto das equações a resolver numa família de funções ßi pelo método de Galerkine, dispondo-se então dum sistema de equações da forma

2) ter em conta as condições iniciais.

• as condições do tipo Dirichlet conduzem à diminuição da número de graus de liberdade na escolha de funções ßi e são tratadas pela supressão das equações correspondentes
• as condições naturais são obtidas por integração por partes dos termos derivados de ordem mais elevada da equação referida acima. Os termos obtidos são então transformados com a ajuda do teorema de Ostrogradski (a 3 dimensões) ou de Stokes (a 2 dimensões) para conduzirem a expressões cuja estrutura é geralmente

que modelizam as trocas entre o domínio estudado e o exterior.

L - vector dependente do problema a tratar (eventualmente função da incógnita).
n - normal exterior à superfície do domínio.

3) discretização dos operadores de derivação temporal (se existem na equação) com a ajuda dum esquema de diferenças finitas.

A escolha do método de discretização será fortemente dependente da equação tratada, mas podem-se dar os critérios gerais seguintes:

• se os sistemas obtidos se puderem pôr sob a forma matricial com coeficientes independentes da incógnita (problema linear), os métodos do tipo Crank-Nicholson assegurarão uma precisão correcta e uma boa estabilidade;
• se os coeficientes dependem da incógnita, será preferível utilizar os métodos implícitos, apesar da sua precisão ser mais débil e o "efeito de alisamento" que eles apresentam;
• no caso de não linearidades, métodos de predição poderão ser utilizados a fim de acelerar a convergência dos processas de resolução de sistemas não lineares.

4) discretização das incógnitas com a ajuda de polinómios de interpolação e linearização.
Esta etapa transforma os sistemas de equações obtidos em sistemas de equações algébricos. Se estes sistemas são lineares, podemos considerar que o estudo matemático está completo. No caso não linear, geralmente, lineariza-se o sistema obtido com ajuda do método de Newton-Raphson. Torna-se, então, necessário avaliar a expressão literal da matriz Jacobiana do sistema a tratar, derivando cada uma das equações relativamente a cada uma das variáveis (o que conduz muitas vezes ao aparecimento de novos termos, produzidos pelas derivações parciais necessárias).

5) as condições iniciais deverão ser estudadas em detalhe.
Elas serão geralmente fornecidas para os problemas de evolução temporal, mas nos casos não lineares estáticos, será necessário prever uma análise especial que forneça valores iniciais ao processo de resolução iterativo.