Cálculo da área da região limitada pela cardióide e  cálculo do seu comprimento

1- Área

> card1:=t->a*(1-cos(t));

> card2:=t->a*(1+cos(t));

> card3:=t->a*(1-sin(t));

> card4:=t->a*(1+sin(t));

Pretendemos determinar uma expressão geral para a área da região plana limitada por cada uma das curvas anteriores.

Suponhamos que a>0 

A área da região plana limitada por uma curva r = p(t) , em coordenadas polares, e pelas semi-rectas t = t₁ e t =t₂ é dada por   Área =

> assume(a>0):

> área1:=int(1/2*(card1(t))^2,t=0..2*Pi);

> área2:=int(1/2*(card2(t))^2,t=0..2*Pi);

> área3:=int(1/2*(card3(t))^2,t=0..2*Pi);

> área:=int(1/2*(card4(t))^2,t=0..2*Pi);

Podemos concluir que a área de uma cardióide é dada por 

2- Comprimento

No caso da cardióide, vejamos a que é igual o comprimento.

> comp1:=int(sqrt((card1(t))^2+(D(card1)(t))^2),t=0..2*Pi);

> comp2:=int(sqrt((card2(t))^2+(D(card2)(t))^2),t=0..2*Pi);

> comp3:=int(sqrt((card3(t))^2+(D(card3)(t))^2),t=0..2*Pi);

> comp4:=int(sqrt((card4(t))^2+(D(card4)(t))^2),t=0..2*Pi);

Podemos concluir que o comprimento de uma cardióide é sempre igual a 8a.