A Cardióide - Projecto de UCEM
Paula Cristina Vaz Pestana
Mestrado em Ensino da Matemática - Departamento de Matemática Pura
Faculdade de Ciências - Universidade do Porto

CARDIÓIDE

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Definições e Construções

Caracol de Pascal

Equações Polares

Como Epiciclóide

Área e Comprimento

Superfície de Revolução

Coração Animado

Mecanismos

Curva Cáustica

Superfícies de Revolução

Introdução

Uma superfície de revolução obtém-se quando rodamos uma curva plana a em torno de um eixo que está no mesmo plano da curva.
A curva plana que é rodada chama-se geratriz e o eixo em torno do qual ela roda chama-se eixo de rotação.
As várias posições da curva são chamados os meridianos e os círculos descritos por cada ponto da curva , quando rodados, são os paralelos da superfície.

Consideremos a curva parametrizada por a(t) =(f(t), g(t)) e suponhamos que a curva está contida no plano OXY de R³^.

Rotação em torno do eixo OY
A equação paramétrica da superfície obtida é:

x(t, u) = (f(t) cos(u), g(t) , f(t) sin(u))

Rotação em torno do eixo OX
A equação paramétrica da superfície obtida é:

x(t, u) = (f(t) , g(t)sin(u) ,g(t)cos(u))

Aplicação 1- Cardióide

Consideremos a cardióide de equação r = 2(1+ cos(t)), cujo gráfico se apresenta a seguir:

> with(plots):

> setoptions(scaling=constrained):

> polarplot(2*(1+cos(t)),t=0..2*Pi);

[Maple Plot]

Fazendo rodar a curva em torno do eixo OX obtemos uma superfície de revolução.
É necessário fazer a parametrização da curva que é a seguinte:

a (t) = (2cos(t) (1+ cos(t)), 2sin(t) (1 + cos(t)))

A superfície de revolução, que se encontra a seguir, é dada pelas equações paramétricas:

x(t, u) =( 2(1 + cos(t)) cos(t), 2(1+cos(t)) sin(t) sin(u),2(1 + cos(t))sin(t) cos(u))

> plot3d([2*(cos(t)+1)*cos(t),2*(cos(t)+1)*sin(t)*sin(u),
2*(cos(t)+1)*sin(t)*cos(u)],u=0..Pi,t=0..2*Pi,orientation=[-117,83],axes=normal,style=wireframe);

[Maple Plot]

> plot3d([2*(cos(t)+1)*cos(t),2*(cos(t)+1)*sin(t)*sin(u),2*(cos(t)+1)*sin(t)*cos(u)],
u=0..Pi,t=0..2*Pi,orientation=[-117,83],axes=normal);

[Maple Plot]

Calculemos o volume do sólido de revolução obtido pela rotação anterior

>int(2/3*Pi*(2+2*cos(t))^3*sin(t),t=0..Pi);

Aplicação 2 - Caracol de Pascal

Consideremos a cardióide de equação r = 1+ 4cos(t), cujo gráfico se apresenta a seguir:

> polarplot(1+4*cos(t),t=0..2*Pi, color =blue);

[Maple Plot]

Fazendo rodar a curva em torno do eixo OX obtemos uma superfície de revolução.
É necessário fazer a parametrização da curva que é a seguinte:

a (t) = (cos(t) (1+4 cos(t)), sin(t) (1 + 4cos(t)))

A superfície de revolução, que se encontra a seguir, é dada pelas equações paramétricas:

x(t, u) =( (1 +4 cos(t)) cos(t), (1+4cos(t)) sin(t) sin(u), (1 + 4cos(t))sin(t) cos(u))

> plot3d([(4*cos(t)+1)*cos(t),(4*cos(t)+1)*sin(t)*sin(u),(4*cos(t)+1)*sin(t)*cos(u)],

u=0..Pi,t=0..2*Pi,orientation=[-117,83],axes=normal,style=wireframe);

[Maple Plot]

Calculemos o volume do sólido de revolução obtido pela rotação anterior
> int(2/3*Pi*(1+4*cos(t))^3*sin(t),t=0..Pi);