Equações Polares da Cardióide
1- Introdução
No sistema de coordenadas polares a cada ponto do plano podemos associar as coordenadas polares (r, t) onde r representa a distância de O (pólo ou origem) a P e t representa o ângulo orientado, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, desde o eixo polar até à semirecta OP .Ao conjunto dos pontos (r, t) do plano que verificam a equação F(r, t)=0 chama-se curva em coordenadas polares.
Na maioria dos casos é possível resolver a equação em ordem a r, tomando a forma explícita r = f(t)
2- Equações polares da cardióide
Vamos verificar que o gráfico de qualquer uma das equações polares seguintes, com a não nulo, é uma cardióide:r =a( 1+cos t), r =a(1- cos t),
r =a(1+sin t), r =a(1- sin t) .
Façamos, por exemplo a=1 e analisemos o gráfico de cada uma das equações.
r =a( 1 + cost)
> with(plots):
> setoptions(scaling=constrained);
> plot(1+cos(t), t=0..2*Pi,coords=polar, title=`Cardióide r =1+cost`);
![[Maple Plot]](equacoespolares1.gif)
Observe-se que o eixo polar (eixoOX) é o eixo de simetria da curva, a posição do maior eixo é sobre a parte positiva do eixo OX e o comprimento desse eixo é 2, ou seja, 2a.
r =a(1 - cost)
> plot(1-cos(t), t=0..2*Pi,coords=polar,title=`Cardióide r =1-cost`);
![[Maple Plot]](equacoespolares2.gif)
Observe que o eixo polar (eixoOX) é o eixo de simetria , a posição do maior eixo é sobre a parte negativa do eixo OX e o comprimento desse eixo é 2, ou seja, 2a.
r =a(1 + sint)
> plot(1+sin(t), t=0..2*Pi,coords=polar,color=green,title=`Cardióide r =1+sint`);
![[Maple Plot]](equacoespolares3.gif)
Observe que o eixo p/2(eixoOY ) é o eixo de simetria , a posição do maior eixo é sobre a parte positivado eixo OY e o comprimento desse eixo é 2, ou seja, 2a.
r =a(1 - sint)
> plot(1-sin(t), t=0..2*Pi,coords=polar,color=green,title=`Cardióide r =1-sint`);
![[Maple Plot]](equacoespolares4.gif)
Observe que o eixo p/2(eixoOY
)
é o eixo de simetria , a posição do maior eixo é
sobre a parte negativa do eixo OY e o seu comprimento é
2,
ou
seja, 2a.
3-Variação do parâmetro a
É agora natural questionarmo-nos
acerca da variação produzida no gráfico da função
quando, em cada uma das equações polares anteriores, se faz
variar o parâmetro a.
Analisemos o gráfico de
r =a( 1 + cost)
> cardióide:=a+a*cos(t):
> plot([seq([cardióide,t,t=0..2*Pi],a=[1/2,1,2])],
coords=polar,color=[red,green,blue],thickness=2,
title=`Família de Cardióides`);
![[Maple Plot]](equacoespolares6.gif)
Observe-se que o parâmetro
a
afecta
o comprimento do eixo maior. O seu comprimento é 2| a|.
4-Animação
Podemos gerar uma família de curvas r = a(1 + cost) utilizando o seguinte comando que permite visualizar uma animação:> animate([a+a*cos(t),t,t=0..2*Pi],a=0..2,
coords=polar,frames=20,thickness=2,title=`Geração
de uma familia de Cardióides`);
![[Maple Plot]](equacoespolares7.gif)