A CARDIÓIDENota históricaA primeira pessoa a estudar a cardióide parece ter sido o astrónomo Ole Romer em 1674. De acordo com Gomes Teixeira, a cardióide foi estudada sob o nome de ciclóide circular, por Vaumesle em 1678. Também em 1679 esta curva aparece referida no Dicionário Matemático de Ozanan e em 1705 numa memória de G.Carré à Academia das Ciências. Em 1708 , La Hire referiu que a cardióide é um caso particular do Caracol de Pascal e calculou o seu perímetro .O nome cardióide é-lhe finalmente atribuído por Castillon em 1741, nome proveniente do grego Kardia e que significa coração. A cardióide pode ser construída tendo por base diversas
definições. Apresentam-se, a seguir, três definições
e a construção da curva vai ser feita com o auxílio
do programa dinâmico The Geometer´s Sketchpad.
l Definições:Definição 1Definição 2 Definição 3 Definição 1. Geração da cardióide como envolvente de circunferênciasConsideremos uma circunferência c1 de centro O e raio a (a azul) e um ponto A em c1.Consideremos ainda um outro ponto P móvel sobre c1, e para cada posição de P tracemos a circunferência c2(a vermelho) de centro em P e raio PA. Se imaginarmos todas as circunferências obtidas deste modo, a curva envolvente das circunferências é uma cardióide. Note-se que embora a curva não esteja traçada a nossa
imaginação pode desenhá-la perfeitamente .
Definição 2. Construção da cardióide como epiciclóide de uma circunferência.Consideremos uma circunferência c1 (verde)e uma circunferência c2 (azul)com o mesmo raio e tangente a c1 no ponto T.Seja P o ponto da circunferência c2 coincidente com A e imaginemos que c2 rola sobre c1sem escorregar. A trajectória descrita por P é uma cardióide . Ao ponto A chama-se polo da cardióide. A figura 2 ilustra a construção da cardióide tendo
em conta esta definição.
Definição 3. Construção da cardióide como curva pedal de uma circunferênciaDada uma circunferência c e um ponto fixo P (ponto pedal) dessa circunferência, considerem-se as perpendiculares tiradas por P às tangentes à circunferência. O lugar geométrico dos pés T dessas perpendiculares constitui a curva pedal , que é uma cardióide.O ponto Q é o polo da cardióide. A figura seguinte pode ser animada por forma a obter uma cardióide
segundo esta definição.
Equações da cardióideAs equações da cardióide podem ter várias formas, nomeadamente polar, cartesiana, paramétrica.A seguir, tendo por base a definição 1, apresenta-se uma equação polar e a correspondente equação cartesiana. Coordenadas polaresUma equação da cardióide em coordenadas polares é :
Coordenadas cartesianas.A correspondente equação em coordenadas cartesianas é:que é uma equação de 4º grau. A equação pode ser facilmente deduzida da equação em coordenadas polares: r = 2a (1- cos t ). As coordenadas polares e cartesianas relacionam-se através de:
x
= r cos t e y = r sen t.
Logo,(x2 + y2 )1/2 = 2a
[1-
x/(x2 + y2 )1/2]
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