Dedução da equação da cardióide
Consideremos a circunferência c1
da definição 1, o ponto P e a circunferência
c2
como se indica na figura 1.
Figura 1
A´ é o simétrico de A relativamente à tangente t a c1 no ponto P.
Para confirmar esta afirmação observe-se a seguinte figura animada que mostra que o ponto A´ à medida que se desloca (na situação descrita) descreve de facto a cardióide.
Figura 2Reparemos também que A´ é o simétrico de A observando que:
-a distância de T a A´é igual à distância de T a A;
-o ângulo A´TP é sempre igual a 90º.
De igual forma se confirma que A´´ é o simétrico
de A relativamente à tangente t2 a
c1 no ponto P´, sendo PP´ um diâmetro
da circunferência c1.
Analisemos a figura 2
AA´ é perpendicular à tangente t1
a
c1no
ponto P, dado que
A´ e A são simétricos.
Vimos já que A´´ é o ponto da cardióide
correspondente a P´.
Então:
- A´, A´´ e A são colinerares,
pois A´ e A´´ são os simétricos
de A relativamente a duas rectas paralelas ( t1//t2)
- A´A´´= 4a , pois A´A´´=
A´T
+ TT´+ T´A´´
= A´T + 2r + T´A´´
= (AT+ T´A) + 2a
= 4a.
- M é o ponto médio do segmento A´A´´
,pois
MT = AT´ ( A´A´´ // PP´)
E assim A´´M = A´´T
– MT
= A´´ T – P´T´
= 2a
Então estamos aptos a escrever a equação do cardióide
em coordenadas polares. Observe a figura 3.
Figura 3
Se BA for o diâmetro da cardióide contendo A ( em que A, M e A´ têm o significado descrito anteriormente), temos:
A equaçao do cardióide em coordenadas polares é :
r = 2a (1- cos t )